發布時間：2022-08-26 11:56:28
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領域的橋梁，我們為您精選了8篇的一元一次方程教案樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發，請盡情閱讀。
一、素質教育目標
（一）知識教學點：1．正確理解因式分解法的實質．2．熟練掌握運用因式分解法解一元二次方程．
（二）能力訓練點：通過新方法的學習，培養學生分析問題解決問題的能力及探索精神．
（三）德育滲透點：通過因式分解法的學習使學生樹立轉化的思想．
二、教學重點、難點、疑點及解決方法
1．教學重點：用因式分解法解一元二次方程．
式）
3．教學疑點：理解“充要條件”、“或”、“且”的含義．
三、教學步驟
（一）明確目標
學習了公式法，便可以解所有的一元二次方程．對于有些一元二次方程，例如（x－2）（x＋3）＝0，如果轉化為一般形式，利用公式法就比較麻煩，如果轉化為x－2＝0或x＋3＝0，解起來就變得簡單多了．即可得x1＝2，x2＝-3．這種解一元二次方程的方法就是本節課要研究的一元二次方程的方法——因式分解法．
（二）整體感知
所謂因式分解，是將一個多項式分解成幾個一次因式積的形式．如果一元二次方程的左邊是一個易于分解成兩個一次因式積的二次三項式，而右邊為零．用因式分解法更為簡單．例如：x2＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，這樣就將原來的一元二次方程轉化為一元一次方程，方程便易于求解．可以說二次三項式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的關鍵．“如果兩個因式的積等于零，那么兩個因式至少有一個等于零”是因式分解法解方程的理論依據．方程的左邊易于分解，而方程的右邊等于零是因式分解法解方程的條件．滿足這樣條件的一元二次方程用因式分解法最簡單．
（三）重點、難點的學習與目標完成過程
1．復習提問
零，那么這兩個因式至少有一個等于零．反之，如果兩個因式有一個等于零，它們的積也就等于零．
“或”有下列三層含義
①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0
2．例1解方程x2＋2x＝0．
解：原方程可變形x（x＋2）＝0……第一步
x＝0或x＋2＝0……第二步
x1=0，x2=-2．
教師提問、板書，學生回答．
分析步驟（一）第一步變形的方法是“因式分解”，第二步變形的理論根據是“如果兩個因式的積等于零，那么至少有一個因式等于零”．分析步驟（二）對于一元二次方程，一邊是零，而另一邊易于分解成兩個一次式時，可以得到兩個一元一次方程，這兩個一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此種方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步實現了由二次向一次的“轉化”，達到了“降次”的目的，解高次方程常用轉化的思想方法．
例2用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．
解：原方程可變形為（x＋5）（x-3）＝0．
得，x＋5＝0或x-3＝0．
x1＝-5，x2＝3．
教師板演，學生回答，總結因式分解的步驟：（一）方程化為一般形式；（二）方程左邊因式分解；（三）至少一個一次因式等于零得到兩個一元一次方程；（四）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．
練習：P．22中1、2．
第一題學生口答，第二題學生筆答，板演．
體會步驟及每一步的依據．
例3解方程3（x-2）-x（x-2）＝0．
解：原方程可變形為（x-2）（3-x）＝0．
x-2＝0或3-x＝0．
x1＝2，x2＝3．
教師板演，學生回答．
此方程不需去括號將方程變成一般形式．對于總結的步驟要具體情況具體分析．
練習P．22中3．
（2）（3x＋2）2=4（x-3）2.
解：原式可變形為（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．
[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0
即：（5x-4）（x＋8）=0．
5x-4＝0或x＋8＝0．
學生練習、板演、評價．教師引導，強化．
練習：解下列關于x的方程
6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．
學生練習、板演．教師強化，引導，訓練其運算的速度．
練習P．22中4．
（四）總結、擴展
1．因式分解法的條件是方程左邊易于分解，而右邊等于零，關鍵是熟練掌握因式分解的知識，理論依舊是“如果兩個因式的積等于零，那么至少有一個因式等于零．”
四、布置作業
教材P．21中A1、2．
教材P．23中B1、2（學有余力的學生做）．
2．因式分解法解一元二次方程的步驟是：
（1）化方程為一般形式；
（2）將方程左邊因式分解；
（3）至少有一個因式為零，得到兩個一元二次方程；
（4）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．
但要具體情況具體分析．
3．因式分解的方法，突出了轉化的思想方法，鮮明地顯示了“二次”轉化為“一次”的過程．
五、板書設計
12．2用因式分解法解一元二次方程（一）
例1．……例2……
二、因式分解法的步驟
（1）……練習：……
（2）…………
（3）……
（4）……
但要具體情況具體分析
六、作業參考答案
教材P．21中A1
（1）x1=-6，x2=-1
（2）x1=6，x2=-1
（3）y1=15，y2=2
（4）y1=12，y2=-5
（5）x1=1，x2=-11，
（6）x1=-2，x2=14
教材P．21中A2略
（1）解：原式可變為：（5mx-7）（mx-2）＝0
5mx-7=0或mx-b＝0
又m≠0
（2）解：原式可變形為
（2ax＋3b）（5ax-b）＝0
2ax＋3b＝0
或5ax-b＝0
a≠0
教材P．23中B
1．解：（1）由y的值等于0
得x2-2x-3=0
變形為（x-3）（x＋1）＝0
x-3＝0或x+1=0
x1＝3，x2=-1
（2）由y的值等于-4
得x2-2x-3=-4
方程變形為x2-2x＋1=0
（x-1）2=0
解得x1=x2=1
當x=3或x＝-1時，y的值為0
當x=1時，y的值等于-4
教材P．23中B2
證明：x2-7xy＋12y2＝0
（x-3y）（x-4y）=0
1．了解整式方程和一元二次方程的概念；
2．知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。
3．通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。
教學重點和難點：
重點：一元二次方程的概念和它的一般形式。
難點：對一元二次方程的一般形式的正確理解及其各項系數的確定。
教學建議：
1．教材分析：
1）知識結構：本小節首先通過實例引出一元二次方程的概念，介紹了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各項的名稱。
2）重點、難點分析
理解一元二次方程的定義：
是一元二次方程的重要組成部分。方程，只有當時，才叫做一元二次方程。如果且，它就是一元二次方程了。解題時遇到字母系數的方程可能出現以下情況：
（1）一元二次方程的條件是確定的，如方程（），把它化成一般形式為，由于，所以，符合一元二次方程的定義。
（2）條件是用“關于的一元二次方程”這樣的語句表述的，那么它就隱含了二次項系數不為零的條件。如“關于的一元二次方程”，這時題中隱含了的條件，這在解題中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系數的項，且出現“關于的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數進行討論。如：“關于的方程”，這就有兩種可能，當時，它是一元一次方程；當時，它是一元二次方程，解題時就會有不同的結果。
教學目的
1.了解整式方程和一元二次方程的概念；
2.知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。
3.通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。
教學難點和難點:
重點:
1．一元二次方程的有關概念
2．會把一元二次方程化成一般形式
難點:一元二次方程的含義.
教學過程設計
一、引入新課
引例：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm、這塊鐵片應該怎樣剪?
分析：1.要解決這個問題，就要求出鐵片的長和寬。
2.這個問題用什么數學方法解決?(間接計算即列方程解應用題。
3．讓學生自己列出方程(x（x十5）＝150)
深入引導：方程x(x十5)＝150有人會解嗎?你能叫出這個方程的名字嗎？
二、新課
1．從上面的引例我們有這樣一個感覺：在解決日常生活的計算問題中確需列方程解應用題，但有些方程我們解不了，但必須想辦法解出來。事實上初中代數研究的主要對象是方程。這部分內容從初一一直貫穿到初三。到目前為止我們對方程研究的還很不夠，從今天起我們就開始研究這樣一類方程--------一元一二次方程(板書課題)
2．什么是—元二次方程呢？現在我們來觀察上面這個方程：它的左右兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程，就這一點來說它與一元一次方程沒有什么區別、也就是說一元二次方程首先必須是一個整式方程，但是一個整式方程未必就是一個一元二次方程、這還取決于未知數的最高次數是幾。如果方程未知數的最高次數是2、這樣的整式方程叫做一元二次方程．(板書一元二次方程的定義)
3．強化一元二次方程的概念
下列方程都是整式方程嗎?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?
(1)3x十2＝5x—3：(2)x2＝4
(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；(4)(x—1)(x—2)＝x2十8
從以上4例讓學生明白判斷一個方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化簡必須先化簡、然后再查看這個方程未知數的最高次數是否是2。
4.一元二次方程概念的延伸
提問：一元二次方程很多嗎?你有辦法一下寫出所有的一元二次方程嗎?
引導學生回顧一元二次方程的定義，分析一元二次方程項的情況，啟發學生運用字母，找到一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
1）．提問a＝0時方程還是一無二次方程嗎?為什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。
2）．講解方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的系數名稱．
3）．強調：一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中一次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0。
強化概念（課本P6）
1．說出下列一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項：
（1）x2十3x十2＝O（2）x2—3x十4＝0；(3)3x2-5＝0
（4）4x2十3x—2＝0；(5)3x2—5＝0；(6)6x2—x=0。
2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數、一次項系數、常數項：
(1)6x2＝3-7x；(3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2
課堂小節
(1)本節課主要介紹了一類很重要的方程—一一元二次方程（如果方程未知數的最高次數為2，這樣的整式方程叫做一元一二次方程）；
(2)要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)并且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中二次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在。特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0；
一、素質教育目標
（一）知識教學點：
1．了解根的判別式的概念．
2．能用判別式判別根的情況．
（二）能力訓練點：
1．培養學生從具體到抽象的觀察、分析、歸納的能力．
2．進一步考察學生思維的全面性．
（三）德育滲透點：
1．通過了解知識之間的內在聯系，培養學生的探索精神．
2．進一步滲透轉化和分類的思想方法．
二、教學重點、難點、疑點及解決方法
1．教學重點：會用判別式判定根的情況．
2．教學難點：正確理解“當b2-4ac＜0時，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）無實數根．”
3．教學疑點：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在實數范圍內，當b2-4ac＜0時，無解．在高中講復數時，會學習當b2-4ac＜0時，實系數的一元二次方程有兩個虛數根．
三、教學步驟
（一）明確目標
在前一節的“公式法”部分已經涉及到了，當b2-4ac≥0時，可以求出兩個實數根．那么b2-4ac＜0時，方程根的情況怎樣呢？這就是本節課的目標．本節課將進一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三種情況下的一元二次方程根的情況．
（二）整體感知
在推導一元二次方程求根公式時，得到b2-4ac決定了一元二次方程的根的情況，稱b2-4ac為根的判別式．一元二次方程根的判別式是比較重要的，用它可以判斷一元二次方程根的情況，有助于我們順利地解一元二次方程，也有利于進一步學習函數的有關內容，并且可以解決許多其它問題．
在探索一元二次方程根的情況是由誰決定的過程中，要求學生從中體會轉化的思想方法以及分類的思想方法，對學生思維全面性的考察起到了一個積極的滲透作用．
（三）重點、難點的學習及目標完成過程
1．復習提問
（1）平方根的性質是什么？
（2）解下列方程：
①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．
問題（1）為本節課結論的得出起到了一個很好的鋪墊作用．問題（2）通過自己親身感受的根的情況，對本節課的結論的得出起到了一個推波助瀾的作用．
2．任何一個一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法將
（1）當b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根．
（3）當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根．
教師通過引導之后，提問：究竟誰決定了一元二次方程根的情況？
答：b2-4ac．
3．①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用符號“”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
當＞0時，有兩個不相等的實數根；
當＝0時，有兩個相等的實數根；
當＜0時，沒有實數根．
反之亦然．
注意以下幾個問題：
（1）a≠0，4a2＞0這一重要條件在這里起了“承上啟下”的作用，即對上式開平方，隨后有下面三種情況．正確得出三種情況的結論，需對平方根的概念有一個深刻的、正確的理解，所以，在課前進行了鋪墊．在這里應向學生滲透轉化和分類的思想方法．
（2）當b2-4ac＜0，說“方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實數根”比較好．有時，也說“方程無解”．這里的前提是“在實數范圍內無解”，也就是方程無實數根”的意思．
4．例1不解方程，判別下列方程的根的情況：
（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；
（3）5（x2＋1）-7x＝0．
解：
（1）＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，
原方程有兩個不相等的實數根．
（2）原方程可變形為
16y2-24y＋9＝0．
＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，
原方程有兩個相等的實數根．
（3）原方程可變形為
5x2-7x+5=0．
＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，
原方程沒有實數根．
學生口答，教師板書，引導學生總結步驟，（1）化方程為一般形式，確定a、b、c的值；（2）計算b2-4ac的值；（3）判別根的情況．
強調兩點：（1）只要能判別值的符號就行，具體數值不必計算出．（2）判別根的情況，不必求出方程的根．
練習．不解方程，判別下列方程根的情況：
（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；
（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；
學生板演、筆答、評價．
（4）題可去括號，化一般式進行判別，也可設y＝x-2，判別方程y2＋2y-8=0根的情況，由此判別原方程根的情況．
又不論k取何實數，≥0，
原方程有兩個實數根．
教師板書，引導學生回答．此題是含有字母系數的一元二次方程．注意字母的取值范圍，從而確定b2-4ac的取值．
練習：不解方程，判別下列方程根的情況．
（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；
（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．
學生板演、筆答、評價．教師滲透、點撥．
（3）解：＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1
＝4m2-8m2-4
＝-4m2-4．
不論m取何值，-4m2-4＜0，即＜0．
方程無實數解．
由數字系數，過渡到字母系數，使學生體會到由具體到抽象，并且注意字母的取值．
（四）總結、擴展
（1）判別式的意義及一元二次方程根的情況．
①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式．用“”表示
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
當＞0時，有兩個不相等的實數根；
當＝0時，有兩個相等的實數根；
當＜0時，沒有實數根．反之亦然．
（2）通過根的情況的研究過程，深刻體會轉化的思想方法及分類的思想方法．
四、布置作業
教材P．27中A1、2
五、板書設計
12．3一元二次方程根的判別式（一）
一、定義：……三、例……
…………
二、一元二次方程的根的情況……練習：……
（1）…………
一、素質教育目標
（一）知識教學點：1．正確理解并會運用配方法將形如x2＋px＋q＝0方程變形為（x＋m）2＝n（n≥0）類型．2．會用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）中的數字系數的一元二次方程．3．了解新、舊知識的內在聯系及彼此的作用．
（二）能力訓練點：培養學生準確、快速的計算能力，嚴謹的邏輯推理能力以及觀察、比較、分析問題的能力．
（三）德育滲透點：通過本節課，繼續體會由未知向已知轉化的思想方法，滲透配方法是解決某些代數問題的一個很重要的方法．
二、教學重點、難點和疑點
1．教學重點：用配方法解一元二次方程．
2．教學難點：正確理解把x2＋ax型的代數式配成完全平方式——將代數式x2＋ax加上一次項系數一半的平方轉化成完全平方式．
3．教學疑點：配方法可以解決許多代數問題，例如：因式分解，將一個代數式配成完全平方式等等，本節課傳授的是用配方法解一元二次方程．
三、教學步驟
（一）明確目標
學習了直接開平方法解一元二次方程，對形如（ax＋b）2＝c（a，b，c為常數，a≠0，c≥0）的一元二次方程便會求解．如果給出一元二次方程x2＋2x＝3，那么怎樣求解呢？這就是我們本節課所要研究的問題．將x2＋2x＝3轉化為（ax＋b）2＝c型是我們本節課一個重要的突破點，攻克此難關，方程的求解問題便迎刃而解了．
（二）整體感知
本節課在直接開平方法的基礎上引進了配方法，實現由未知向已知的轉化．直接開平方法在本節課中起到了一個承上啟下的作用．它為配方法的引入做了很好的鋪墊．如果說平方根的概念為一元二次方程解法的引進立下了汗馬功勞，那么可以說直接開平方法為其他方法的引進作了堅實的鋪墊．
配方法是初中代數中解決某些代數問題的一個常用方法，方法的實質是將代數式x2＋ax配成一個完全平方式，它的理論依據是完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．
（三）重點、難點的學習及目標完成過程
1．復習提問
（1）完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2．
（2）填空：
1）x2-2x+（）＝[x＋（）]2
2）x2＋6x＋（）＝[x-（）]2
2．引例：將方程x2-2x-3=0化為（x-m）2=n的形式，指出m，n分別是多少？
解：移項，得x2－2x＝3．
配方，得x2-2x＋12＝3＋12．
（x-1）2＝4．
m＝-1，n＝4．
對于x2+ax型的代數式，只需再加上一次項系數一半的平方即可完成上述轉化工作．
練習：把下列方程化為（x＋m）2＝n的形式
上述練習，深化配方的過程，為配方法的引入作鋪墊．
3．例1解方程x2－4x－2＝0．
解：移項，得x2－4x＝2……第一步
配方，得x2－4x＋（-2）2＝2＋（-2）2……第二步
（x－2）2＝6．
教師引導、板演，學生回答．分析解方程的步驟，第一步是移項，將含有未知數的項移到方程的一邊，不含有未知數的項移到方程的另一邊．第二步是配方，方程的兩邊同時加上二次項系數一半的平方，進行這一步的理論依據是等式的基本性質和完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2，第三步是用直接開平方法求解．此時，向學生點明：這種解一元二次方程的方法稱為配方法．
學生練習、板演、評價，深刻體會配方法的步驟，通過配方，方程進行了形式上的轉化，并且體會為什么先學直接開平方法，它是配方法的基礎，要注意體會推理的嚴謹性、步驟的完整性，剛開始配方的過程要細，不要跳步，避免出錯．
例2解方程：2x2＋3＝5x．
解：移項，得：2x2-5x＋3＝0，
例2中方程的特點和例1不同的是，例2的二次項系數不是1．因此要想配方，必須化二次項系數為1．對一元二次方程ax2＋bx＋c＝0用配方法求解的步驟是：
第一步：化二次項系數為1；
第二步：移項；
第三步：配方；
第四步：用直接開平方法求解．
練習：1．P．12中2（3）（4）．
2．解方程（1）6x－x2＝63（2）9x2－6x＋1＝0．
學生練習板演，師生共同評價．對于練習2（2）解方程9x2＋6x＋1＝0．
解法（二）原方程可整理為（3x－1）2＝0．
3x－1＝0．
比較上面兩種方法，讓學生體會方法（一）是通法，有時用起來麻煩．方法（二）是據方程的特點所采用的特殊的方法，較方法（一）簡捷，明快．可告誡學生學習不要機械死板，在熟練掌握通法的基礎上，據方程的結構特點靈活地選擇簡單的方法，培養學生靈活運用的能力．
通過以上練習，讓學生能悟出配方法可以解任意結構特點的一元二次方程，它是解一元二次方程的通法．
（四）總結、擴展
引導學生從所學知識、方法上進行小結．
1．本節課學習用配方法解一元二次方程，其步驟如下：
（1）化二次項系數為1．
（2）移項，使方程左邊為二次項，一次項，右邊為常數項．
（3）配方．依據等式的基本性質和完全平方公式，在方程的左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方．
（4）用直接開平方法求解．
配方法的關鍵步驟是配方．配方法是解一元二次方程的通法．
2．配方法的理論依據是完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2，配方法以直接開平方法為基礎．
3．要學會通過觀察、比較、分析去發現新舊知識的聯系，以舊引新，學會化未知為已知的轉化思想方法，增強學生的創新意識．
四、布置作業
教材P．15中3．
五、板書設計
12．1用公式解一元二次方程（三）
1．配方法的理論依據例1解方程x2-4x-2＝0
a2±2ab＋b2＝（a±b）2解：……
2．配方法的步驟……
（1）……例2解方程2x2-3＝5x
（2）……解：……
（3）…………
（4）……練習1……
練習2……
六、作業參考答案
教材P．15中3．
（1）x1=-2，x2＝-4
（2）x1＝-6，x2＝2
（3）x1＝4，x2＝6
一、學前準備
“學案”的環節之一為“學前準備”，我們鼓勵學生利用課余時間預習。為了提高學生課前預習的有效性和積極性，在預習階段要求學生對新知識作初步的了解，所以設置的預習題以基礎為主，實現低層次目標的自達。保證所有同學能自行解決“學案”中的學前準備內容，對難以解決的問題做好標記，以便在課堂上向老師和同學質疑。對這一環節中的預習題，我根據數學學科的特點是這樣設計的：
案例：設計人教版七年級數學下冊“8.3實際問題與二元一次方程組”這一節內容的學前準備：
1.（1）用代入消元法解方程組
（2）加減消元法解方程組
2.有甲、乙兩個數，甲數與乙數的和為50，甲數的2倍與乙數的7倍和為250，按下列要求，求甲、乙兩個數：（1）列一元一次方程解決問題！（2）嘗試用二元一次方程組解決問題吧！
回顧用一元一次方程解決問題的步驟：
3.有甲、乙兩個數，其中2個甲數與3個乙數的和為130，甲數的2倍與乙數的7倍和為250，求甲、乙兩個數。
（一）舊知識的回顧
在學生接受新知之前，考察學生是否具備了與新知有關的知識與技能，縮短新舊知識之間的距離。案例中的第1題分別用代入消元法和加減消元法解方程組，此題設計目的是鞏固學生正確、熟練解二元一次方程組，為解決新知扎實基礎。第2題中（1）列一元一次方程解決問題，讓學生回顧用一元一次方程解決問題的步驟，從而為學元一次方程組解決問題提供類比思想。
（二）新知識的簡單嘗試
為了使學生盡可能在課堂40分鐘內把所學的知識全部掌握，我們就根據教材內容，設計難度較低，并通過預習就能獨立解決的一些練習題。案例中第2題的第（2）小題，讓學生嘗試列二元一次方程組解決問題。
第3題（巧妙變式第2題）通過與剛才第2題的對比，讓學生思考，對于本題選擇“一元一次方程解決問題”與“二元一次方程組解決問題”哪個更方便，讓學生感到學這節課的必要性。通常我們老師設計一節課，比較注重 “我怎么教”，而對于“我為什么要教這節課”和“學生在這節課中學到了什么”思考相對較少，所以我認為在“學案”四個環節的作業設計中，都應該注意這三個問題。上課前教師收齊“學案”，批閱“學前準備”這一部分的內容，然后對“學案”再次進行補充完善，以學定教。在課上有針對性地點撥，課堂效率就提高了。
二、課堂探究
學生理解和掌握的知識是要通過訓練去強化，通過運用去鞏固和提高的，這樣才能內化為學生的素質，形成學習能力。所以，我認為課堂研討部分的練習設計應注意適度和適量。
(一）要注重課內例題的基礎性、典型性、坡度性
例題的設計和選擇要體現基礎性、典型性、坡度性。例題主要采用書上的例題，但采用之前必須進行適當改變，哪怕改變計算題中的一個數字或幾何證明中的一個字母（防止少數學生在自學時不動腦筋的抄，而是必須自學看懂書上例題，再做“學案”上的預習題目）；呈現方式上一題多變，利用書上的例題進行變式、挖掘和提高，從深度和廣度上來挖掘例題的作用。同時幾個例題要步步為營，步步深入，有一定的坡度性。還是以“一次方程組的應用”這內容為例，在第二節課設計例題時，可以把例題2的結論進行適當變式，因為對于“用直接未知量來設二元一次方程組解決問題”在第1節課中學生已經掌握很好，不妨通過變式呈現一個“用間接未知量來設二元一次方程組解決問題”的題目，從而提高學生解決此類問題的能力。
（二）課堂練習要適量
課堂作業是課堂教學中的再次反饋活動，要給學生充分的時間思考。所以課堂作業練習要適量，保證課堂作業當堂完成。在學生進行課內作業時，教師應巡視，掌握典型錯誤，當堂反饋糾正。要重視學生作業的規范性、合理性和獨創性。對學生在預習導學作業中或課堂研討練習中出現的問題和獨到見解，應及時講評和反饋，對教學進行適時調控。當然對“學有余力”的學生可引導他們做“延伸拓展”中的二、三星級提高題。如有疑難，教師可引導學生進行分組探討與評議，讓學生兩人一組或前后相鄰兩桌同學合作學習，相互討論，相互解答，教師以平等的身份參與這些小組學習討論，適時給予學生點撥或幫助，重點對差生、優生施以個別教學輔導，激勵和強化中等生，從而逐步解決教學過程中差生轉化和優等生的發展問題。
三、延伸拓展
（一）精選練習題
精選練習題，我在題目的選擇時，做到與教學內容配套，合適梯度，由易到難，堅持以訓練基本功、基本思路和方法為主，基本練習與綜合練習相結合，為了達到這個目標，事先對題目進行認真的分析：解題時需要用到哪些新授數學概念、定理及知識點；解題所涉及的方法和技巧；以及學生在這方面訓練的熟練程度；解題過程的關鍵處和易錯處都了然于胸。
（二）自編練習題
試題都是源于書本，只是命題人在題設條件、問題的情境和設問方式上作了適當的變換，中考題就是把平時練習中的題目通過給出新的情景、改變設問方式、互換條件與結論等手段改編而成。這樣的試題給人一種似曾相識而又似是而非的感覺，很多學生由于思維定勢造成失分，此時應變能力至關重要。因而我們在平時作業中，有意識地對一些可以改編的問題進行變式訓練、題組訓練，讓學生進一步掌握這類問題的本質及其通性通法，同時有意識進行一題多解，培養學生發散思維能力，豐富教學內容。
（三）設計層次性作業，讓學生體驗成功
數學新課標指出，由于學生所處的文化環境、家庭背境和自身思維方式的不同，學生的數學學習活動應當是一個生動活潑和富有個性的過程。因此，學生之間的數學能力存在著差異。為了實現“不同的人在數學上得到不同的發展”，設計作業時，不能搞“一刀切”,而應從學生的實際出發，設計層次性作業，為不同發展水平的學生創設練習和提高的平臺，讓學生在實踐中體驗成功。
（1）難度的分層
根據學生實際，分層設計作業，讓不同水平的學生自主選擇，給學生作業的“彈性權”，實現“人人能練習，人人能成功”，讓學生學有所得，練有所獲。當然，每個學生的學習接受的能力是不同的，為防止差生“吃不了”、優生“吃不飽”的現象，所以我們根據學生的不同層次，把作業設為必做題，選做題甚至滲透競賽的題目，讓學有余力的同學完成。
（2）數量的分層
學生可以根據自己的實際，能做幾道題就做幾道題，教師不作“硬性”規定（當然老師心里有一個譜），設計的作業太多或太難就會讓學生失去對數學練習的興趣，教師逼急了，他一抄了之，應付一下。特別是學習有困難的學生，一般情況下，他們做練習的速度可能由于基礎或者習慣方面的原因會很慢，如果數學題目的容量經常多得無法完成，就容易滋長“債欠多了不愁”的心理。
（含答案）
1、一元二次方程x2－5x+6=0
的兩根分別是x1,x2,則x1+x2等于（
）
A.
5
B.
6
C.
－5
D.
－6
2、若是一元二次方程的兩個根，則的值是（
）.
A．
B．
C．
D．
3、若方程的兩根為、，則的值為(
).
A．3
B．－3
C．
D．
4、若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則
的取值范圍是（
）
A．
B．
且
C．
D．
且
5、關于的方程有實數根，則整數的最大值是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
6、關于的一元二次方程的兩個實數根分別是，且，則的值是（
）
A．1
B．12
C．13
D．25
7、如果方程ax2＋2x＋1＝0有兩個不等實根，則實數a的取值范圍是___
___．
8、關于x的一元二次方程有實數根，則k的取值范圍是
。
9、關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是
．
10、已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的兩個實根，則(x1－2)
(x2－2)=
．
11、一個容器盛滿純藥液63L，第一次倒出一部分純藥液后用水加滿，第二次又倒出同樣多的藥液，再加水補滿，這時容器內剩下的純藥液是28L，設每次倒出液體xL，則列出的方程是________．
12、一個小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個小組共（
）．
A．12人
B．18人
C．9人
D．10人
13、某商品原價200元，連續兩次降價a％后售價為148元，下列所列方程正確的是（
）A：200(1+a%)2=148
B：200(1－a%)2=148
C：200(1－2a%)=148
D：200(1－a2%)=148
14、某種出租車的收費標準是：起步價7元（即行駛距離不超過3km都需付7元車費）；超過3km以后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km計），某人乘出租車從甲地到乙地共支付車費19元，則此人從甲地到乙地經過的路程（
）．
A．正好8km
B．最多8km
C．至少8km
D．正好7km
15、某水果批發商場經銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.
經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克.
現該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？
16、兩年前生產1t甲種藥品的成本是5000元，生產1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，現在生產1t甲種藥品的成本是3000元，生產1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?
17、某商場禮品柜臺春節期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，調查發現，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應降價多少元?
18、某玩具廠有4個車間，某周是質量檢查周，現每個車間都原有a（a>0）個成品，且每個車間每天都生產b（b>0）個成品，質量科派出若干名檢驗員周一、周二檢驗其中兩個車間原有的和這兩天生產的所有成品，然后，周三到周五檢驗另外兩個車間原有的和本周生產的所有成品，假定每名檢驗員每天檢驗的成品數相同．
（1）這若干名檢驗員1天共檢驗多少個成品?（用含a、b的代數式表示）
（2）若一名檢驗員1天能檢驗b個成品，則質量科至少要派出多少名檢驗員?
19、某商場禮品柜臺春節期間購進甲、乙兩種賀年卡，甲種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，乙種賀年卡平均每天可售出200張，每張盈利0.75元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，調查發現，如果甲種賀年卡的售價每降價0.1元，那么商場平均每天可多售出100張；如果乙種賀年卡的售價每降價0.25元，那么商場平均每天可多售出34張．如果商場要想每種賀年卡平均每天盈利120元，那么哪種賀年卡每張降價的絕對量大．
20、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據市場分析，若每千克50元銷售，一個月能售出500kg，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對這種水產品情況，請解答以下問題：
（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算銷售量和月銷售利潤．
（2）設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的關系式．
（3）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應為多少?
參考答案
1、答案：A
2、答案：B
3、答案：B
4、解析：選B．由題意得方程有兩個不相等的實數根，則=b2－4ac>0，即4+4k>0.解得且
5、解析：選C.由題意得方程有實數根，則分兩種情況，當a－6=0時，a=6,此時x=，當a－6≠0時，=b2－4ac≥0，解得a≤
綜合兩種情況得答案.
6、解析：選C.
(，解得m=5（此時不滿足根的判別式舍去）或m=－1.原方程化為，=
7、答案：a＜1且a≠0；
8、答案：
9、答案：且
10、答案：－4
11、63-
x-（63-
x）÷63×x=28
12、C
13、B
14、B
15、設每千克應漲價x元
（10+
x）（500-20
x）=6000
每千克應漲價5元
16、
解：設甲種藥品成本的年平均下降率為x，
則一年后甲種藥品成本為5000（1-x）元，兩年后甲種藥品成本為5000（1-x）元．
依題意，得5000（1-x）2=3000
解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合題意，舍去）
設乙種藥品成本的平均下降率為y．
則：6000（1-y）2=3600
整理，得：（1-y）2=0.6
解得：y≈0.225
答：兩種藥品成本的年平均下降率一樣大．
17、設每張賀年卡應降價x元，則每件平均利潤應是（0.3-x）元，總件數應是（500+×100）
解：設每張賀年卡應降價x元
則（0.3-x）（500+）=120
解得：x=0.1
答：每張賀年卡應降價0.1元．
18、（1）=a+2b或
（2）因為假定每名檢驗員每天檢驗的成品數相同．
所以a+2b=，解得：a=4b
所以（a+2b）÷b=6b÷b==7.5（人）
所以至少要派8名檢驗員．
19、
解：（1）從“復習引入”中，我們可知，商場要想平均每天盈利120元，甲種賀年卡應降價0.1元．
（2）乙種賀年卡：設每張乙種賀年卡應降價y元，
則：（0.75-y）（200+×34）=120
即（-y）（200+136y）=120
整理：得68y2+49y-15=0
y=
y≈-0.98（不符題意，應舍去）
y≈0.23元
答：乙種賀年卡每張降價的絕對量大．
因此，我們從以上一些絕對量的比較，不能說明其它絕對量或者相對量也有同樣的變化規律．
20、分析：（1）銷售單價定為55元，比原來的銷售價50元提高5元，因此，銷售量就減少5×10kg．
（2）銷售利潤y=（銷售單價x-銷售成本40）×銷售量[500-10（x-50）]
（3）月銷售成本不超過10000元，那么銷售量就不超過=250kg，在這個提前下，求月銷售利潤達到8000元，銷售單價應為多少．
解：（1）銷售量：500-5×10=450（kg）；銷售利潤：450×（55-40）=450×15=6750元
（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000
（3）由于水產品不超過10000÷40=250kg，定價為x元，則（x-400）[500-10（x-50）]=8000
解得：x1=80，x2=60
[關鍵詞]更新觀念；明確目標；分析引申
一、轉變觀念，調整教學策略
受片面追求升學率的影響，教學過程中有些教師有意無意地偏愛優生，對中等生關心不夠，致使中等生失去了學好數學的信心。鑒于此，我加強了對教育理論的學習，轉變了教學觀念，特別是“羅森塔爾”效應給了我很大啟示。我認識到，提高全體學生的數學學習質量，不僅要抓好優生，更要抓好中等生，要真心誠意地增加對中等生的情感投入，使他們感受到教師的誠心和愛心，從而產生了學好數學的強烈愿望。
我過去上課多“滿堂灌”，學生聽得昏昏沉沉，教學效果不好。轉變觀念后，我注重發揮學生學習的主體作用，嘗試采用“自學、精講、勤練”的教學方法。先指導學生按提綱預習自學，把不懂的問題記下來；在巡視中收集學生自學中的問題，多關注有問題的學生，鼓勵他們大膽提出問題并自主解決問題；重點講解學生難以理解的知識點；把部分課外作業改為當堂練習，及時發現學生學習中存在的問題并解決問題。這種與學生近距離的接觸，使教與學能夠保持同步，也使學生掌握了學習數學的方法，增強了學習信心，從而提高了課堂學習效果。
二、明確教學目標，加強基本概念教學
教學目標是教學活動的指針，課堂教學活動是圍繞教學目標展開的，所以針對教材的知識點、重點、難點和中等生的實際水平，恰當地制定教學目標是教學中十分重要的一環。教案的設計要圍繞目標，不能過高或過低。如教學簡單二元一次方程組的解法時，我先出示教學目標“掌握轉化的數學思想，能夠把兩個二元一次方程組成的方程組轉化為一個一元一次方程”，使學生心中有數，而后讓學生解答兩個已學過的兩個一元一次方程3（y+3）-8y=14和3x+2(2x-3)=8，并說明他們的解題思路，最后，教師提出兩個方程組 和 完成轉化。
課堂教學中，教師要兼顧到中等生的認知發展規律和心理活動規律，這部分學生上課注意力易分散，較難掌握抽象的知識，因此教學必須具體化、直觀化。我在概念教學中盡量聯系生活實際，把枯燥的概念形象化、趣味化。新課導入時，根據不同課型的內容采用發現法、聯想法、類比法、懸念法、問題法、游戲法、故事法等，把學生的思維引導到教學氛圍中。如三角形的穩定性教學，我出示了準備好的四邊形，然后將其折成三角形，以此來揭示三角形的穩定性，在我的啟發下，學生聯想到很多生活中的實例，這樣就很容易掌握這一概念。又如教學函數概念時，我是這樣導入的：我今天早晨上街買青菜，0.5元一斤，買了4斤，問花了多少錢？如果買6.5斤，買x斤呢？學生能一一回答。我告訴學生，你別怕函數，“函”就是“隱含”，如果把買x斤花的錢設為y元，那么能得到怎樣的等式？學生回答：y=0.5x。我又問：花錢的多少怎樣變化的呢？在學生弄清楚是隨買菜的多少而變化，即y隨x的變化而變化后，我再引入書上的概念：在某一變化過程中，兩個變量x、y，對于x的每一個值，y都有唯一的值和它對應，y就是x的函數；這種關系式是y=f(x),x是自變量，y叫因變量。這樣的教學設計能使中等生輕松掌握概念，取得良好的課堂教學效果。
三、注意問題的分析引申，培養思維能力
解題過程可分為分析題意、探尋解題方法、實施解題方案、驗證答案等步驟。中等生沒有良好的審題習慣和技能，容易出現因性格浮躁、審題不嚴而“漏題”，因意志薄弱、心慌意亂而“怯題”，因情緒激動、轉換印象而“走題”。我在教學中注意培養中等生分析問題的能力。如列方程解應用題時，引導學生列出提綱，找出已知條件、未知條件、隱含條件以及已知和未知的關系（等量關系），培養學生的審題能力。又如解題“已知ABC中AB=10, BC=5, AC=8，求ABC的內切圓半徑R”時，我啟發學生聯想已做過的類似題目“已知RtABC中斜邊AB=5，BC=3,求RtABC內切圓半徑R”，該題的解法為連接圓心與切點，易得R=（AC+BC-AB）/2=（4+3-5）/2=1。這種解法中，直角三角形面積為兩直角邊乘積的一半，那么能否利用內切圓半徑表示直角三角形的面積呢？通過這樣的引導，中等生就能利用等積法求出斜三角形內切圓的半徑。
一、做好課堂問題設計
任何一門課程的教學都離不開問題設計，作為啟發學生思維的數學教學尤其如此。許多教師與專家都把課堂教學中的問題設計作為課程改革的突破口，并且總結出了許多有關課堂問題設計的經驗。1.結合生活實際或學生感興趣的情境設計問題，激發學生學習的興趣與動機。2.問題設計應低起點、高落點，層層推進，滿足不同層次學生的學習需要。3.注重問題設計的“再創造過程”，引導學生自主學習、主動探究，培養學生的自主學習能力。4.課堂問題設計應注重教學實效，體現教材的實踐性，培養學生的數學建模能力。5.開放性問題的設計往往能激起學生思維的火花。
二、激活課堂，讓課堂充滿生機
數學教學過程是一個不斷變化發展的過程，作為一個數學教師要能駕輕就熟地掌控課堂的氛圍。如果數學教師在課堂上表現出乏味或有些許的遲鈍，學生打盹或搞小動作的行為將會層出不窮。你越生氣，事件發生得就越多；越提醒，學生開小差的就越多。所以要激活課堂，又要做到活而不亂，把不利變為有利，這是一門藝術。
1.鼓勵學生走上講臺，讓課堂充滿生機。如：將《計算器的使用》這一節課提前一兩天交給“小老師”，讓其備課，寫出簡案，數學老師進行指導，再由“小老師”反復修改、完善，確定出可行的教案。最后引導“小老師”在課堂上用通俗易懂的語言來為同學上這一節課。
2.備課時充分估計，上課時勤于捕捉。在備課中不但要估好時機，更要估好知識結構、情趣結構和突發事件，對于個別學生的“突發奇想”，要從有利的方向引導。上課時不光要把暗地里開小差的或思維開小差（表面不聲不響）的學生拉回課堂，更要緊的是在課堂上要抓住學生點滴思維的閃光點，作為成功的基石。
3.在課堂中不斷制造沖突。數學來源于生活，又服務于生活。在學習對稱時，在課堂上我展示了我女兒制作的蝴蝶標本、我們去青島拍的風力發電站的大型風車照片等等，學生非常興奮，過后，要求學生收集對稱的圖案。
4.把握好學生動手的時機。例如，在探索三角形的穩定性時，要求以小組為單位用小木捧做好一個三角形、一個四邊形，讓學生去探索其中的奧秘。
三、創設問題情境，引導學生合作
教學是教與學的協同活動，具有雙邊性，沒有學生主動積極的認知活動，即使教師的“獨角戲”演得再好，教學效果也不理想。因此，我在進行教學設計時，注意根據不同的教學內容、不同的教學目標，結合學生的特點選用不同的教學方法， 激發學生的求知熱情。如在教學“一元一次方程”時，我安排了一個“猜數字”的游戲：請學生心中想一個數，乘以6，再減去3，然后請他說出所得的結果，教師依次猜出他們心中想的數。在教師猜對他們心中的數后，學生對教師的“本領”甚感驚訝，此時教師點出學了“一元一次方程”你就知道了，從而大大地激發了學生的求知欲望和參與意識。
四、強化學生主體，弱化教師主角